Pi har fødselsdag

• Hør udsendelsen  

Om Pi's fødselsdag (Pi-dagen).
Tallet Pi er fascinerende og har derfor fået sin egen fødselsdag, nemlig den fjortende dag i årets tredje måned. I amerikansk skrivemåde vil dette blive noteret som 03.14, idet måneden i U.S.A. skrives først og dernæst dagen i måneden. Den 14. marts 2010 blev derfor i U.S.A. noteret som 03.14.2010. I amerikansk notation er 3.14 også den måde hvorpå man skriver decimaltallet 3,14 som netop er tallet Pi med 2 decimaler. Derfor er den 14. marts tallet Pi's fødselsdag.  

Hvad er tallet Pi?
Tallet Pi er knyttet til længdemåling af en cirkels omkreds. Præcist er tallet Pi netop forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Når man skal beregne arealet af en cirkel følger det heraf, at vi også kan bestemme Pi som forholdet mellem cirklens areal og kvadratet på cirklens radius. For en cirkel med radius 1, er cirklens omkreds 2 Pi og dens areal Pi
 
Hvordan begyndte det?
I det gamle Ægypten opstod for mere end 5000 år siden et praktisk behov for at bestemme arealer af cirkler og for at finde rumfang af cirkulære cylindre (siloer). Til beregning af arealet af en cirkel brugte ægypterne en formel fundet empirisk, nemlig: Man finder arealet af en cirkel ved at tage cirklens diameter, fratrække en niendedel af denne, og så kvadrere resten. Eksempel: Hvis radius i cirklen er 1, så er diameteren 2. Derfra trækkes nu 2/9 så der er 16/9 tilbage. Ved kvadrering af denne rest fås brøken 256/81, der i decimaltal er ca. 3,16. Arealet af en cirkel med radius 1 er netop tallet Pi, og den værdi af arealet på ca. 3,16 som ægypterne fandt ved deres metode, er en temmelig god tilnærmelse til Pi, men dog ikke den nøjagtige værdi af Pi. For som det senere viste sig, kan tallet Pi ikke skrives som en brøk. Men med brøker kan vi komme så tæt på Pi som vi måtte ønske.
 
Kort om Pi i historisk belysning.
I oldtidens Grækenland var der stor matematisk aktivitet fra ca. 500 år f. Kr. til ca. 300 år e. Kr. I periodens begyndelse finder vi pythagoræerne som mente, at 'alt var tal'. De tal som pythagoræerne anerkendte som fornuftige var forhold mellem hele tal, det som vi kalder rationale tal, eller brøker. Pythagoræerne opdagede imidlertid, at der var størrelser som ikke kunne beskrives ved brøker, og sådanne størrelser kaldte de irrationale. Grækerne udviklede derfor en størrelseslære så de kunne regne med størrelser uden at tænke på dem som tal. Derved blev de i deres matematiske studier ikke forstyrret af de irrationale størrelser. En velkendt irrational størrelse er længden af diagonalen i et kvadrat med kantlængde 1: denne størrelse svarer til det tal vi kalder kvadratroden af 2, fordi det repræsenterer kantlængden i et kvadrat med arealet 2.

De græske matematikere fandt gode tilnærmelser til Pi. Archimedes (287-212 f. Kr.) fandt således i 200-tallet f. Kr. den velkendte tilnærmelse 22/7 til Pi ved at indskrive regulære polygoner med 96 kanter i en cirkel med radius 1. I decimaltal svarer 22/7 til ca. 3,14. Senere fandt kinesiske matematikere (Zu Changzhi) i slutningen af 400-tallet endnu bedre tilnærmelser til Pi, bl.a. brøken 355/113, ved at indskrive regulære polygoner med 24.576 kanter i cirklen. I decimaltal fandt kineserne, at tallet Pi ligger imellem 3,1415926 og 3,1415927.

Archimedes og senere matematikere vidste ikke om Pi kunne repræsenteres ved en brøk, men de anede jo nok, at det bar i retning af at Pi var et irrationalt tal. Selve symbolet for Pi (det græske p) blev brugt af den schweizisk-tyske matematiker Leonhard Euler (1707-83) fra 1737. Mange matematiske symboler og megen matematisk notation kan henføres til Euler, som gav banebrydende bidrag til næsten alle matematikkens discipliner, fx til talteori, hvor han lavede vigtigt arbejde om kædebrøker. Dette arbejde om kædebrøker blev udnyttet af den schweizisk-tyske matematiker Johann Heinrich Lambert (1728-77), der i 1761 beviste, at Pi er irrational.

Decimalfremstillinger af Pi med mange cifre fik herefter øget interesse, og der udvikledes nye metoder, nemlig rækkeudviklinger af funktioner, som gav mere effektive algoritmer til beregning af decimaler for Pi end tilnærmelse af enhedscirklen med regulære polygoner med mange kanter. Den store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777-1855) gav i begyndelsen af 1800-tallet vigtige bidrag til talteorien og han var meget dygtig til at udføre sådanne beregninger. Mange matematikere har forsøgt at finde et system i decimalfremstillingen af Pi, men til dags dato er dette ikke lykkedes.   

Det viste sig i slutningen af 1800-tallet, at tallet Pi er meget mere indviklet end det irrationale tal kvadratroden af 2. For kvadratroden af 2 er rod i en ligning med heltallige koefficienter, nemlig i ligningen x i anden - 2 = 0. Tal med denne egenskab siges at være algebraiske tal. Et tal der ikke er rod i en polynomial ligning med heltallige koefficienter siges at være transcendent. I 1882 viste den tyske matematiker Ferdinand Lindemann (1852-1939), at tallet Pi er transcendent. Dette havde konsekvenser for et gammelt problem i matematikken.

Cirklens kvadratur.
De gamle græske matematikere havde som ideal, at geometriske objekter skulle kunne konstrueres med passer og lineal, idet nogle få aksiomer formuleret af Euklid ca. 300 f. Kr. skulle overholdes ved konstruktionen.  Konstruktioner med passer og lineal blev anset for vigtige fordi de beviste, at de geometriske objekter eksisterede i ideernes verden. Et af de problemer grækerne formulerede blev kendt som problemet om cirklens kvadratur: Kan man med passer og lineal konstruere et kvadrat med samme areal som en forelagt cirkel. Tænker vi på en cirkel med radius 1, drejer det sig om at konstruere et kvadrat med arealet Pi. Man kan vise, at alle tal hvor en tilhørende geometrisk størrelse kan konstrueres med passer og lineal er algebraiske tal. Da Lindemann i 1882 beviste, at Pi er et transcendent tal fulgte derfor som en konsekvens, at cirklens kvadratur er en umulighed.

En sjov historie om Pi.
Den simpleste og mest oplagte tilnærmelse til tallet Pi er det hele tal 3, som netop er forholdet mellem omkredsen af en regulær sekskant indskrevet i en cirkel og cirklens diameter. I meget simple overslagsregninger er 3 en rimelig god tilnærmelse til Pi.

I flere amerikanske stater brød man sig i 1800-tallet ikke om at skulle regne med decimaler. I staten Indiana blev der således i det lokale parlament i 1897 sat et lovforslag under afstemning om at Pi ved lov skulle sættes til 3. Der var en enkelt matematiker i parlamentet og han var temmelig flov over afstemningen. Forslaget blev heldigvis ikke vedtaget, men det kom grumme tæt på.

Tekst venligst stillet til rådighed af Professor Vagn Lundsgaard Hansen.